不等式选讲的数学题

利用均值不等式即可

解:
由于:
t
=1/a^2+1/b^2+3/c^2
=(1/9)[9(1/a^2+1/b^2+3/c^2)]
又：
a^2+4b^2+3c^3=9
则：
t
=(1/9)[(a^2+4b^2+3c^2)(1/a^2+1/b^2+3/c^2)]
=(1/9)[1+4+9+(a^2/b^2+4b^2/a^2)+(12b^2/c^2+3c^2/b^2)+(3a^2/c^2+3c^2/a^2)]

由均值不等式，可得：
(a^2/b^2+4b^2/a^2)>=
2√[(a^2/b^2)(4b^2/a^2)]=4
同理可得：
(12b^2/c^2+3c^2/b^2)>=12
(3a^2/c^2+3c^2/a^2)>=6
则有：
t>=(1/9)(1+4+9+4+12+6)=4
当且仅当：
a^2/b^2=4b^2/a^2,
12b^2/c^2=3c^2/b^2,
3a^2/c^2=3c^2/a^2,
a^2+4b^2+3c^2=9时取等号
即：
a=c=√6/2,b=√3/2时
t取最小值为4

拉格朗日最值法
令f(a,b,c,p)=1/a²+1/b²+3/c²-p(a²+4b²+3c²-9)
对f求a偏导并令其为0： -2a^(-3)-2pa=0
对f求b偏导并令其为0： -2b^(-3)-8pb=0
对f求c偏导并令其为0： -6c^(-3)-6pc=0
对f求p偏导并令其为0： a²+4b²+3c²-9=0
联立四个方程得
a^2=9/6,b^2=9/12,c^2=9/6
所以最小值为t=4