在三角形ABC中,点D是BC边上的点,AD=CD,F是AC的中点,DE平分三角形ADB交AB于点E,求证:DE垂直DF

在三角形ADF和三角形CDF中
AD=CD，AF=CF，DF是公共边
所以三角形ADF和三角形CDF全等
角ADF=角CDF=角ADC/2
DE平分角ADB
所以角ADE=角BDE=角ADB/2
所以
角ADF+角ADE=(角ADC/2)+(角ADB/2)=(角ADC+角ADB)/2=180/2=90度
所以
DE垂直DF

超简单的一种证法：

证明：

∠EDF=∠ADE+∠ADF
=∠ADB/+∠ADC/2
=(∠ADB+∠ADC)/2
=180/2
=90°

本题一看便知∠ADF=∠FDC

因为AD=CD,F是AC中点，
所以三角形ADC是等腰三角形，
所以DF垂直于AC，
又 E为AB中点，
所以 DE为三角形ABC的中位线，
所以 DE平行于AC,
由 DF垂直于AC（已证），
得DE垂直于DF。

正好是180度的一半，三角形ADC是等腰三角形，
所以中线也是角分线，即：角ADF等于角CDF