如何证明估植定理

估值定理：设M、m分别是f(x,y)在有界闭域D上的最大值和最小值，S是D的面积，则有 mS ≤ (∫∫_D) f(x,y) dσ ≤ MS .

只要清楚二重积分的定义，定理很显然的。

二重积分的定义：
设 f(x,y) 是有界闭域 D 上的有界函数，将区域 D 任意分割成 n 个子闭域
σ_i(i=1,2,…,n) , 其面积记作 Δσ_i ，设 σ_i 的直径为 λ_i ，
记 λ = max{λ_1,λ_2,…λ_n} .在 σ_i 上任取一点 P_i(ξ_i,η_i) ,
作乘积 f(ξ_i,η_i) Δσ_i ,并作和 I_n = [∑(_i=1)(^n)] f(ξ_i,η_i) Δσ_i，
若当 λ 趋向于零时，上述和的极限总存在，则称此极限为函数 f(x,y) 在闭域 D 上的二重积分，记作 (∫∫_D) f(x,y) dσ ，即
(∫∫_D) f(x,y) dσ = (lim_λ→0) [∑(_i=1)(^n)] f(ξ_i,η_i) Δσ_i .

由定义可知，
因为 m ≤ f(x,y) ≤ M ，
所以 m (lim_λ→0) [∑(_i=1)(^n)] Δσ_i
≤ (lim_λ→0) [∑(_i=1)(^n)] f(ξ_i,η_i) Δσ_i
≤ M (lim_λ→0) [∑(_i=1)(^n)] Δσ_i ,
即 mS ≤ (∫∫_D) f(x,y) dσ ≤ MS