等差数列&函数应用题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 15:34:10
在自然数集N上定义一个函数y=f(x)，已知f(1)+f(2)=5，当x为奇数时f(x+1)-f(x)=1，当x为偶数时f(x+1)-f(x)=3.
（1）求证：f(1)，f(3)，f(5)…f(2n-1)（n∈N）成等差数列；
（2）求f(x)的解析表达式。

解：（1）只需验证f(2n-1)-f(2n-3)=常数即可
f(2n-1)-f(2n-3)=[f(2n-1)-f(2n-2)]+[f(2n-2)-f(2n-3)]=3+1=4,得证。
（说明：根据题中条件，当x为奇数时f(x+1)-f(x)=1，所以f(2n-2)-f(2n- 3)=1；当x为偶数时f(x+1)-f(x)=3，所以f(2n-1)-f(2n-2）=3。）

（2）令x=1，则有：f(2)-f(1)=1，又f(1)+f(2)=5，解得：
f(1)=2；f(2)=3···
再求出f(3)，f(4)，f(5)，f(6)，f(7)···（过程略）
f(1)=2；
f(2)=3；
f(3)=6；
f(4)=7；
f(5)=10；
f(6)=11······
·········
由数学归纳法得：
x为奇数时，f(x)=2x；
x为偶数时，f(x)=2x-1
（证明略）

一看就知怎么做了，用推断法吧。

f(2n-1)-f(2n-3)=f(2n-1)-f(2n-2)+f(2n-2)-f(2n-3)=3+1=4
f(x)=2x(x为奇数) f(x)=2x-1(x为偶数)