一道解析几何题 麻烦您

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 03:28:58
设P（x1,y1)Q(x2,y2)是抛物线C：y2=2px（p＞0）上相异的两点，且OP乘OQ=0，直线QP与x轴交于E
（1）若P,Q到x轴的距离的积为4，求P的值
（2）若视P为已知常数，在x轴上是否存在异于E的一点F，直线PF与抛物线的另一交点为R，而直线RQ与x轴交于T，且TR=3TQ，若存在，求出F点坐标（用P表示） 若不存在 说明理由

消去x得y2－2pmy－2pa＝0
∴ y1y2＝－2pa ①
设F(b,0)，R(x3,y3)，同理可知，
y1y3＝－2pb ②
由①、②可得 y3y2＝ba ③
若 TR＝3TQ，设T(c,0)，则有
(x3－c,y3－0)＝3(x2－c,y2－0)

解： （1）∵ OP→·OQ→＝0，则x1x2＋y1y2＝0，
又P、Q在抛物线上，故y12＝2px1，y22＝2px2，故得
y122p·y222p ＋y1y2＝0， y1y2＝－4p2 Þ |y1y2|＝4p2
又|y1y2|＝4，故得4p2＝4，p=1．
（2）设E(a,0），直线PQ方程为x＝my＋a
联立方程组 x＝my＋ay2＝2px
消去x得y2－2pmy－2pa＝0
∴ y1y2＝－2pa ①
设F(b,0)，R(x3,y3)，同理可知，
y1y3＝－2pb ②
由①、②可得 y3y2＝ba ③
若 TR＝3TQ，设T(c,0)，则有
(x3－c,y3－0)＝3(x2－c,y2－0)
∴ y3＝3y2 即 y3y2＝3 ④
将④代入③，得 b＝3a．
又由（Ⅰ）知，OP·OQ＝0 Þ y1y2＝－4p2，代入①，可得
－2a＝－4p 得 a＝2p．
故b＝6p．
故知，在x轴上，是否存在异于E的一点F(6p,0)，使得 TR＝3TQ