将等边△PBC绕点C顺时针旋转30°得△QCD，BP与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F。求证：PM＝QM。

因为旋转了30度，所以∠QCP=30°，
又已知：∠Q=∠P=60°，所以在△CEP和△CFQ中，∠CEP=∠CFQ=90°，得出， ∠QEM=∠PFM=90°。所以△QEM和△PFM为直角三角形。
又因为两直角三角形有对顶角∠QME和∠PMF，所以△QEM和△PFM为相似直角三角形。
已得：△CEP和△CFQ为直角三角形，且根据勾股定理得出：CE=CF，且CQ=CP。所以：CQ-CE=CP-CF,即EQ=FP，
因为有一条直角边相等的两个直角相似三角形为全等直角三角形。
已知△QEM和△PFM为相似直角三角形。且直角边EQ=FP，所以△QEM和△PFM为全等直角三角形，所以斜边PM=QM

证明:

∵四边形ABCD是正方形

∴BC=CD,∠BCD=90°

∵三角形PBC、QCD为等边三角形

∴∠PBC=∠PCB=∠P=∠QDC=∠QCD=∠Q,CQ=CD=BC=CP

∴∠QCB=∠BCD-∠QCD=∠BCD-∠PCB=∠PCD

∴△BCE≌△DCF [ASA]

∴CE=CF

又∵CQ=EQ+CE

CP=FP+CF

∴EQ+CE=FP+CF

EQ=FP

又∵∠QMB=∠PMD[对顶角]

∴△QME≌△PMF[AAS]

∴PM=QM