关于一个秩为n-1的矩阵的伴随矩阵

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/19 13:00:29
请问一下，一个n阶矩阵，如果他的秩为n-1，那么他的伴随矩阵的表达式是什么？

n=1是平凡的，以下只讨论n>1。
若A是n阶矩阵且r(A)=n-1，B是A的伴随阵，那么
AB=BA=det(A)*In=0
于是B的列属于A的零空间，B的行属于A'的零空间。
注意到A和A'的零空间都是1维的，所以B一定形如cxy'的秩1矩阵(显然B非零)，其中x和y是满足
Ax=0, y'A=0, x'y=1
的非零向量，余下的问题就是确定系数c，事实上c=tr(B)={A的非零特征值的积}，而实际计算时只需要求出B的任意一个非零元就能唯一确定c。

求出每一个元素的代数余之式，所有代数余之式组成的矩阵的转置就是它的伴随矩阵。