UC知道初学矩阵题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/26 06:22:52
当矩阵A，满足A^2=A，为什么特征值等于0或1.还有它的tr等于什么？只有1是吗？
我看了几个百度知道的答案，一个一上来就说“设j是的一特征值，则有X，使得AX=jX”，如何证明一定有这样一个X呢？
尽量详细点，我刚刚学这个。。
最后能不能麻烦大家给我一个满足A^2=A条件的例子，同时特征值=1情况下的。
oh, 特征值不是det啊。。是不是eigenvalue啊？
我用的英文教材。。
老师的问题是det为什么=0或1。
不好意思。。
我看了几个百度知道的答案，一个一上来就说“设j是的一特征值，则有X，使得AX=jX”，如何证明一定有这样一个X呢？
尽量详细点，我刚刚学这个。。
最后能不能麻烦大家给我一个满足A^2=A条件的例子，同时特征值=1情况下的。
oh, 特征值不是det啊。。是不是eigenvalue啊？
我用的英文教材。。
老师的问题是det为什么=0或1。
不好意思。。
Aα=λα，其中λ为特征值，α为对应的非零特征向量 （这是特征值和特征向量的定义啊）
由A^2=A，则A^2α=λα
而A^2α=A*(Aα)=A*λα=λAα=λ*λα=λ^2α=λα
得λ^2=λ => λ=0或1
楼上朋友的解法有问题，即 A(A-I)=0不能推出A=0或A=I，因为这里的0是0矩阵。
试想一个对角矩阵，只要对角线上的数只有0和1就都满足A(A-I)=0
tr(A)不一定等于1，因为刚才已经说过A可以是个对角矩阵，且只要只要对角线上的数只有0和1即可，如：A为
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
满足A^2=A，但tr(A)=3，其实tr(A)=R(A)，即A的迹等于A的秩。
因为0的平方等于0，1的平方等于1。
线数早就忘记光光了，帮不了你
根据特征值的定义,若有 Ax＝jx，则j为A的一个特征值，x为特征值j所对应的特征向量。然而此题有个更好的解法。
因为 A^2=A
所以 A^2-A=0
--> A(A-1)=0
--> A(A-I)=0 (I为单位矩阵)
由此可见 A＝0 或A＝I
A=0(零矩阵)时 特征值为0
A＝I时 特征值为1（单位矩阵特征值为1如果不明白，再去看看书）。从而问题得解。