高二空间几何题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/06 02:35:43
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为√2的正方形,侧棱和底面垂直且长为√3，E,F分别是AB1,CB1的中点，求证，平面D1EF⊥平面AB1C

取EF、AA1、CC1的中点分别为G、A2、C2，连接B1G、D1G、EA2、D1A2、FC2、D1C2
容易得到：EF=AC/2=√2*√2/2=1
EA1‖AB⊥平面AA1D1D，于是EA1⊥D1A2
于是D1E^2=EA2^2+D1A2^2=EA2^2+A1A2^2+A1D1^2=13/4
同理：D1F^2=13/4,即△D1EF是等腰三角形，于是D1G⊥EF
∴D1G^2=D1E^2-(EF/2）^2=3
而B1E=AB1/2=CB1/2=B1F，即△B1EF是等腰三角形，于是B1G⊥EF
∴B1G^2=(AB1/2)^2-(EF/2）^2=1,
在△B1D1G中：B1D1^2=A1D1^2+A1B1^2=4=B1G^2+D1G^2
∴D1G⊥B1G
∴D1G⊥平面AB1C
∴平面D1EF⊥平面AB1C