探究函数f(x)=x+a/x(a∈R)在(0,+∞)的单调性

当：a=0时，f(x)=x,显然为(0,+∞)上的增函数。
当：a<0时，设x1<x2∈(0,+∞),则x1-x2<0,a(x1-x2)>0,x1*x2>0;
f(x1)-f(x2)=x1+a/x1-(x2+a/x2)=(x1-x2)-a[(x1-x2)/(x1*x2)]
∵x1-x2<0,x1*x2,a<0,
∴a[(x1-x2)/(x1*x2)]>0,则 -a[(x1-x2)/(x1*x2)]<0
∴(x1-x2)-a[(x1-x2)/(x1*x2)]<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),f(x)在(0,+∞)上为增函数；
当：a>0时，f(x)=x+a/x≥2√a(均值不等式)
当且仅当x=a/x，即x=√a时等号成立，易得f(x)在(0,√a）递减，在（√a，+∞)上递增。

综上所述：当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上为增函数；
当a>0时，f(x)在(0,√a）递减，在（√a，+∞)上递增。

帅哥，导数学过吗？
不会HI问我吧。

当a=0时f(x)=x,在(0,+¤)恒为单调增函数。
当a>0时.f(x)=x+a/x>=2倍根号a当且仅当x=a/x即x=根号a时可取=
当 0<x=<根号a.时f(x)为减函数
当x>根号a.f(x)为增函数
a<0恒为减函数

先对f(x)=x+a/x求导，得f’(x）=1-a/x^2,然后对a进行讨论，
一：若a<0或a=0 则 f’(x）对任意x∈(0,+∞)恒大于零，f(x)单调增在(0,+∞)里，
二：若a>0,就只要算1-a/x^2>0了，在符合不等式的（0，根号下a）区间里，函数导数大于零，函数就是单调增，不符合不等式的（根号下a，+∞)，函数就是单调减的