用悬线法求不含1的最大矩阵,给个pascal标程或者把思路写一下

来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/01 12:34:43
给出一个长度为的正整数序列,求一个子序列,使得原序列中任意长度为的子串中被选出的元素不超过k(k<=m<=10)个,并且选出的元素之和最大。

具体的太长了,不解释,详见 国家集训队2003论文集 王知昆:《浅谈用极大化思想解决最大子矩形问题》,没有的话可以找我要。

定义:
有效竖线:除了两个端点外,不覆盖任何障碍点的竖直线段。
悬线:上端点覆盖了一个障碍点或达到整个矩形上端的有效竖线。如图所示的三个有效竖线都是悬线。

对于任何一个极大子矩形,它的上边界上要么有一个障碍点,要么和整个矩形的上边界重合。那么如果把一个极大子矩形按x坐标不同切割成多个(实际上是无数个)与y轴垂直的线段,则其中一定存在一条悬线。而且一条悬线通过尽可能地向左右移动恰好能得到一个子矩形(未必是极大子矩形,但只可能向下扩展)。通过以上的分析,我们可以得到一个重要的定理。

【定理3】:如果将一个悬线向左右两个方向尽可能移动所得到的有效子矩形称为这个悬线所对应的子矩形,那么所有悬线所对应的有效子矩形的集合一定包含了所有极大子矩形的集合。

定理3中的“尽可能”移动指的是移动到一个障碍点或者矩形边界的位置。
根据【定理3】可以发现,通过枚举所有的悬线,就可以枚举出所有的极大子矩形。由于每个悬线都与它底部的那个点一一对应,所以悬线的个数=(n-1)×m(以矩形中除了顶部的点以外的每个点为底部,都可以得到一个悬线,且没有遗漏)。如果能做到对每个悬线的操作时间都为O(1),那么整个算法的复杂度就是O(NM)。这样,我们看到了解决问题的希望。
现在的问题是,怎样在O(1)的时间内完成对每个悬线的操作。我们知道,每个极大子矩形都可以通过一个悬线左右平移得到。所以,对于每个确定了底部的悬线,我们需要知道有关于它的三个量:顶部、左右最多能移动到的位置。对于底部为(i,j)的悬线,设它的高为hight[i,j],左右最多能移动到的位置为left[i,j],right[i,j]。这样做充分利用了以前得到的信息,使每个悬线的处理时间复杂度为O(1)。对于以点(i,j)为底的悬线对应的子矩形,它的面积为(right[i,j]-left[i,j])*height[i,j]。整个算法的时间复杂度为O(NM),空间复杂度是O(NM)。