高一函数单调性与奇偶性

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/27 00:05:33
已知函数f(x)对任意实数x,y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)=-2。
（1）：证明f（x)在R上为减函数；
（2）：若f(2x+5)+f(6-7x)＞4，求X的取值范围

f(0+0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)
f(-x)=-f(x)
f(x)在R上是奇函数
（1）x1<x2
f(x2)-f(x1)
= f(x2)+ f(-x1)(奇偶性)
=f(x2-x1)<0(∵x2-x1>0)
∴f(x2)<f(x1)
f（x)在R上为减函数
（2）f(1)=-2
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)=-4
f(-2)=4
f(2x+5)+f(6-7x)＞4=f(-2)，
f[(2x+5)+ (6-7x)]> f(-2)
f(11-5x)> f(-2)
f（x)在R上为减函数
11-5x<-2
x>13/5

1、取任意a>0，都有：
f(x+a)=f(x)+f(a)，因x＞0时，f(x)＜0，则f(a)<0
所以f(x+a)<f(x)，故f(x)为减函数。

2、f(x)=f(x)+f(0) => f(0)=0
f(0)=f(1-1)=f(1)+f(-1)=0 => f(-1)=-f(1)=2
则f(-2)=f(-1)+f(-1)=4
f(2x+5)+f(6-7x)=f(2x+5+6-7x)=f(11-5x)>4=f(-2)
所以11-5x<-2 => x>13/5