快啊！一道数学题目！！！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/01 16:26:49
已知定义在实数集R上的函数f(x)满足下列条件:(1)f(0)=0,f(1)=1；（2）对任意的实数x、y，都有f（x+y/2）=（1-a）f（x）+af（y），其中a是常数。
（1）求a和f（-1）值；
（2）求证：对任意的实数x、y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）；
（3）求f（1/3）的值。

解：1、f((x+y)/2)=(1-a)f(x)+af(y)
f((1-1)/2)=(1-a)f(1)+af(-1),即
（1-a）+af(-1)=0..............................................(1)
f((-1+1)/2)=(1-a)f(-1)+af(1),即
（1-a）f(-1)+a=0..............................................(2)
由（1）（2）可知
f（-1）=（a-1）/a=a/(a-1)
a=1/2，f（-1）=-1

2、当a=1/2时
f((x+y)/2)=[f(x)+f(y)]/2,即
f[（x+0)/2]=[f(x)+f(0)]/2,即
f（x）=2f（x/2)
所以f(x)+f(y)]=2f[(x+y)/2]=f（x+y)

3、f（1/3+2/3)=f(1/3)+f(2/3),即
f（1/3)+2f(1/3)=f(1)=1
f(1/3)=1/3