求证 偶阶斜对称方阵的行列式是一个完全平方

你这个问题的叙述不好，没有指定矩阵元素的范围。
如果是复数域上的矩阵，那么由于复数一定是完全平方数，这个问题没什么意义。
如果是实数域上的斜对称矩阵，那么它的特征值必定在虚轴上并且成对出现，所以行列式是非负的实数，并是某个实数的平方。
如果是其他的数域(比如有理数域)就要罗嗦一点。只考察非奇异矩阵，奇异矩阵行列式为0是平凡的。如果存在非零的2x2对角块，那么用Gauss消去法做合同变换，把所在的2行2列非对角块消成0，(注：这一步相当于证明了
A B
C D
的行列式等于det(A)det(D-CA^{-1}B)
)
再用一下归纳法即可。
如果对角块都是0，从第1列中选取一个非零元并将其排列到A(2,1)位置，并做相应的列重排，此时第一个对角块非零，化成上面的情况。

如果你要在环上面证明，那么在做合同变换的时候把“分母”都通分掉即可。

斜对称方阵 是什么意思？能给个例子吗