2009全国高中数学联赛答案

http://www.hzjys.net/xkweb/shuxue/Article/ShowArticle.asp?ArticleID=1785

1. 试求满足方程 的所有整数对 ．
（张鹏程供题）
解： 设整数对 满足方程 …（1），将其看作
关于 的一元二次方程，其判别式 的值
应为一完全平方数；
若 ，则 ；
若 ，则 可取 ，相应的 值分别为 和 ，它们皆不为平方数；
因此，仅当 时， 为完全平方数．
若 ，方程（1）化为 ， 解得 或 ；
若 ，方程（1）化为 ，解得 或 ．
综上可知，满足原方程的全部整数对为： ．
2. 在凸五边形 中，已知 ，且
四点共圆．
证明： 四点共圆的充分必要条件是 ．
（熊斌供题）
证明：必要性：若 共圆，则由
，得 ， ，所以 ，故得 ；
充分性：记 所共的圆为 ，若 ，则圆心 在 的中垂线 上，设点 关于 的对称点为 ，则 在 上，且因 ，即 ，所以 不共点，且 ≌ ，又由 ，知 ≌ ，因此，
≌ ，故由 ，得 共圆，即点 在 上，也即点 在 上，从而 共圆．
3. 设 ， ；
求证： ．
（唐立华供题）
证明：先证 不能构成三角形的三边．因为

，
．
所以 ( )( )( )
,
于是
( )( )( ) ,
故 ．
4. 在一个圆周上给定十二个红点；求 的最小值，使得存在以红点为顶点的 个三角形，满足：以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边．
（陶平生供题）
解：设红点集为： ，过点 的弦有 条，而任一个含顶点 的三角形，恰含两条过点