求证:1!+2*2!+3*3!+....+N*N!=(N+!)!-1

是等于（N+1)!-1吧

是这样的
设原数列为S.
(n+1/n)S=2!+3!+4!+(N+1)!
(n+1/n)S-S=(1/n)S=1!+2!+...+N!
看到这里应该知道怎么做了吧

因此再用（n+1/n）S-(1/n)S=S=(N+1)!-1

原式=1!*(2-1)+2!*(3-1)+3!*(4-1)+...+N!(N+1-1)
=2!-1!+3!-2!+4!-3!+...+(N+1)!-N!
=(N+1)!-1

数学归纳法证明：
①：N=1时显然成立；
②：假设N=m时成立，即1!+2*2!+3*3!+....+m*m!=(m+1)!-1；
那么N=m+1时：1!+2*2!+3*3!+....+m*m!+(m+1)*(m+1)!=(m+1)!-1+(m+1)*(m+1)!=(m+2)!-1；
由归纳法知原式成立。