一个集合有N个元素，证明存在一个子集，元素和能被N整除

这难道不是显然的吗？

设这N个元素是：{a1,a2,...,aN}
考察下面N个子集：{a1}, {a1,a2}, {a1,a2,a3}, ..., {a1,a2,a3,...,aN}
这N个子集有个特点：后面的集合包含前面的。

一共N个子集，要么有1个能被N整除，要么有2个除N后余数相同（抽屉原则）。如果是后面一种情形，那2个子集的差集就能被N整除。

应该不算空集吧……

随便想的，抛砖引玉吧。
N个数中任意元素的和构成新的集合M
显然N是M的子集
将M中含有不相同角标的元素拿出来（说不清楚）如a2+a3 和a1+a4（意会一下）这样拆成了两个集合A和B，M=A并B再并A+B；
显然A和B中的元素均大于N个，{A+B}的元素也大于N个；
注意到A、B的元素被N除只能有0，1……N-1种余数，所以如果A+B的话，必然有余数互补的吧……不是太清楚呵呵。
A+B是N个元素和得一个子集，

这题需要运用抽屉原理，很抽象的概念
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楼主这个题目还是有问题的，对这个n元集必须做一个限定。否则作为反例我举出{π}这个一元集即可。这个问题的本质实际上是这样的一个简单事实：“一个正整数n总可以分解成若干项正整数的和，且项数至少为1，至多为n”（这点很重要！）。我自己做了下，因为是整除问题，所以限定n元集中的元素为整数。其实因为原n元集中元素互不相同，如果其中任一个元素都不能被n整除（即排除了取其一元子集的情形），那么其中必有两个元素对模n同余。只要注意到这个事实实际上已经足够了。要标准的证明的话，证明过程有点长，我引入了双重下标，手机上没办法打，给你说下方法。用数学归纳法。一元集的情形是显然的，设对于n-1元集命题成立，去证明n元集的情形。证明过程中为使下标简单，应当进行适当的元素重排。你可以先把原n元集的任意一个n-1元子集的满足整除条件的r元子集表示出来，这r个元素的和应当为k(n-1)的形式。然后分k为n的倍数和不为n的倍数两种情况讨论即可（后一种情况可以用带余除法表示为适当形式后讨论，要用到抽屉原理）。