UC知道线性代数问题 急！！
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/31 01:49:15
已知A是3阶矩阵，且所有元素都是-1，则A^4 +2A^3 =
它给的提示是：秩r（A）=1，有A^2=LA，其中L= （A的迹） = -3。给了提示我就会做了，但是我不明白秩等于1为什么有A^2 =LA的结论，谁帮我解答一下，还我猜测秩等于1矩阵就只有一个非零特征值，其余都为零，是不是这样？还有如果是秩等于1的4或5阶矩阵有没有相似的结论？不要告诉我用特征值求出P和P^-1再求n次方，应该是有什么简单的推导，把推导帮我写出来，回答的满意我就再追加50分！
它给的提示是：秩r（A）=1，有A^2=LA，其中L= （A的迹） = -3。给了提示我就会做了，但是我不明白秩等于1为什么有A^2 =LA的结论，谁帮我解答一下，还我猜测秩等于1矩阵就只有一个非零特征值，其余都为零，是不是这样？还有如果是秩等于1的4或5阶矩阵有没有相似的结论？不要告诉我用特征值求出P和P^-1再求n次方，应该是有什么简单的推导，把推导帮我写出来，回答的满意我就再追加50分！
n阶秩1矩阵至多有1个非零特征值，当然也可以是所有的特征值都是0，其中一个0特征值是亏损的。
至于n阶秩1矩阵的k次方的推导，其实很简单，如果rank(A)=1，必定存在n维非零列向量x,y使得A=xy'，于是A^k=xy'xy'...xy'，利用结合律把中间的(y'x)^(k-1)拿出来就可以了，再利用tr(xy')=tr(y'x)即得
A^k=tr(A)^(k-1)A。