A(n+1)=f(An),如果(An)有极限，那么f(x)=x必定有且只有一根，该根既为数列(An)的极限

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/12 11:57:26
数列An满足递推通项A(n+1)=f(An)，如果数列(An)有极限，那么方程f(x)=x必定有且只有一根，该根既为数列(An)的极限
怎么证明啊
嗯，题目原来是这样说的，对于任意的A1∈R，A(n+1)=f(An)，如果数列An都趋近于一个数x0，这个x0就是函数f(x)的不动点（也就是f(x0)=x0）
然后请证明函数f(x)只有一个不动点

首先证明有根。令An(n趋于无穷时）为a,则 有A（n+1）=f(An)(令n趋于无穷时)，An的极限是a,A(n+1)的极限也是a,于是得到 a=f(a),所以存在一个根，且为数列的极限。

唯一性。假定有两个不动点a,a1。令A1=a,得到极限a（实际上数列的每个数都是a）,令A1=a1,数列极限即是a1(实际上数列每个数都是a1)，因为数列只有一个极限，则a=a1,所以只有一个不动点。