25.(12分)如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF为正三角形,E、F在菱形边上.

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 07:38:38
（1）证明不论E，F分别在边BC，CD上如何移动，总有BE=CF.
（2）在（1）的情况下，即当点E，F分别在边BC，CD上移动时，请分别探究四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值.
回答第二题就好 要详细过程

第一问你已明白就不多说了。
（2）为了方便运算我们用S1，S2,S3,S4,S5,S6分别代表四边形ABCD,四边形AECF,三角形CEF,三角形AEF,三角形ABE,三角形ADF的面积。则有以下关系S2=S1-(S5+S6),S3=S2-S4,所以欲求S2需求S5与S6,欲求S3需求S2与S4.那么我们先来求S2,S5,S6.
过点A分别作BC,CD的垂线AM,AN，垂足分别为M,N，则易证AM=AN=AB*sin∠B=2√3(AB=AD,∠B=∠D=60°)
S5=(1/2)(AM*BE）=（1/2)（AM*CF)=(1/2)[AM*(CD-DF)]=(1/2)(AM*CD)-(1/2)(AM*DF)
S6=(1/2)(AN*DF)=(1/2)(AM*DF)
所以S2=S1-(S5+S6)=AB^2*sin∠B-[(1/2)（AM*CD)-(1/2)(AM*DF)+(1/2)(AM*DF)]=AB^2*sin∠B-(1/2)(AB^2*sin∠B)=4√3
现在来求S3,S4
在三角形ABE中由正弦定理可得AE=AB*sin∠B/sin∠AEB(如果不知正弦定理可求AM与AE的关系，就可得AB与AE的关系）则S4=(1/2)(AE^2*sin∠EAF)=(1/2)[(AB*sin∠B/sin∠AEB)^2*sin∠EAF]=3√3/(sin∠EAF)^2
S3=S2-S4=4√3-3√3/(sin∠EAF)^2≤4√3-3√3/(sin90°）^2=√3
所以四边形AECF的面积恒值为4√3，
三角形CEF的面积是变量当AE⊥BC(或AF⊥CD)或BE=CE时有最大值√3
以上只是简解，具体过程自己组织。特别注意的是要写S3是随着什么的变化而变化的

问什么