两道初二数学竞赛题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/20 22:48:28
1，任意给五个正整数，证明一定能从中选出三个，使它们的和能被3整除。
2，由1个1994组成一个四位数，2个1994组成一个八位数......n个1994组成一个4n位数，证明一定存在一个数是17的倍数。

第一题：
将这5个数按照除以3的余数分成3组，即第1组的数除以3余0，第2组的数除以3余1，第3组的数除以3余2
1) 如果存在某个组没有数，那么是5个数分到2组，根据鸽笼原理，必然有个组有3个数，从这个组中取3个数，这3个数的和能被3整除
2) 如果3个组中都有数，那么从这3个组中各取1个数，这3个数的和能被3整除

第二题：
将这些数按照除以17的余数分成17组，即第1组的数除以17余0，第2组的数除以17余1……第17组的数除以17余16
因为这种数有无穷多个，根据鸽笼原理存在2个数，它们落在同一组，假设它们是m个1994连缀和n个1994连缀，并且m>n
于是这2个数相减可以整除17，即：17 | (m-n)个1994连缀后加4n个0
注意(m-n)个1994连缀后加4n个0=(m-n)个1994连缀×10的4n次方=(m-n)个1994连缀×2的4n次方×5的4n次方
因为2、5、17都是质数，所以(m-n)个1994连缀能整除17，于是就找到这样一个能整除17的数

设这些数即可