UC知道一道高数中收敛的问题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/13 22:39:55
请问
∑ （n从1到∞)(cos nx)/n
即(cos x)/1+(cos 2x)/2+(cos 3x)/3+...是否收敛
当x=0时收敛我知道 不等于0的情况呢 请大家指教
可以的话写下过程 谢谢谢
hehe 错了 X=0发散 O(∩_∩)O~请继续指教
∑ （n从1到∞)(cos nx)/n
即(cos x)/1+(cos 2x)/2+(cos 3x)/3+...是否收敛
当x=0时收敛我知道 不等于0的情况呢 请大家指教
可以的话写下过程 谢谢谢
hehe 错了 X=0发散 O(∩_∩)O~请继续指教
就用那两个判别式，找出收敛区间吧，这个只有这么找，又不是常数的加减，cosnx=cos(nπ+nx-nπ)=(-1)^ncos(x-π)n,对这个变形的式子进行绝对判敛。
正解被我同学想出来了:-1<cosnx<1
所以conx/n>-1/n
所以∑cosnx/n>-∑1/n,右边是发散的，所以左边发散。
x=0时发散吧！
比较申连发
和1/n比 (cosnx)/n /1/n=cosnx<1
所以 1/n发散 所以 发散
我的做法仅供参考。
将级数对 x 求导： d[ ∑(cos nx)/n ]/dx = -[∑(sin nx)]
然后计算 ∑(sin nx) 的数值：∑(sin nx) =[ ∑(cosx*sinnx)]/cosx = [∑sin(n+1)x - sin(n-1)x]/(2cosx) = [sin(nx+x) + sin(nx) - sinx]/(2cosx)
于是可以得结论： d[ ∑(cos nx)/n ]/dx = -[∑(sin nx)] = -[sin(nx+x) + sin(nx) - sinx]/(2cosx)
下一步就是将式子积分回去： ∑(cos nx)/n = -∫[sin(nx+x) + sin(nx) - sinx]/(2cosx) dx + C (注:C为待定常数)