求解一道极限题（不可用洛必达法则）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/08 09:36:16
n→∞时，lim n^(1/n) = 1 即n开n方根的极限为1
前提是不可用洛必达法则，谢谢各位了

证：n={1+[n^(1/n)-1]}^n
=1+n[n^(1/n)-1]+[n(n-1)/2][n^(1/n)-1]²
＞[n(n-1)/2][n^(1/n)-1]²
当n＞2时，上式＞(n²/4)[n^(1/n)-1]²，
即n＞(n²/4)[n^(1/n)-1]²，整理得
0＜n^(1/n)-1＜2/√n，由夹逼准则得
lim<n→∞>[n^(1/n)-1]=0，即
lim<n→∞>n^(1/n)=1