在锐角三角形ABC中,三边长成等比数列,则公比q的范围是？

设锐角三角形的三边为a,b,c
并设最大边为c
a=a
b=aq
c=aq^2
根据余弦定理
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
因为是锐角三角形
所以 cosC>0
a^2+b^2-c^2>0
a^2+a^2q^2-a^2q^4>0
1+q^2-q^4>0
q^4-q^2-1<0
0<q^2<(1+√5)/2
-√[(1+√5)/2]<q<√[(1+√5)/2];
因为a,bc>0
所以
q>0
即
0<q<√[(1+√5)/2];

在锐角三角形ABC中,三边长a,b,c成等比数列b/q,b.bq
bq<(b+b/q)
q^2-q-1<0
(1-根号5)/2<q<(1+根号5)/2

设一边为a,那么另外两边为aq,aq^2
根据两边之和大于第三边，a+aq>aq^2
解得 （-√5-1）/2<q<（√5-1）/2

再由于两边之差小于第三边
a-aq<aq^2
得到 q>(√3-1)/2或者q<(-√3-1)/2
综合可以得到：
（-√5-1）/2<q<(-√3-1)/2
或者>(√3-1)/2<q<（√5-1）/2