一道初三相似数学题。

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/11 13:26:53
已知:如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB),将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开,折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别结合AF和CE。
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm²，求△ABF的周长。
（3）问线段AC上是否存在一点P,使得2AE²=AC·AP?若存在,请说明P的位置，并予以证明.若不存在,请说明理由.

（1）连接A、C连接，设AC与EF的交点为0
根据题意可知A、C两点关于EF对称，即AC即⊥EF，AC、EF互相平分

即A0=CO EO=FO，所以AF=FC=CE=EA所以，即四边形AFCE是菱形

（2）根据题意，△ABF的面积=1/2AB×BF=24，即AB×BF=48…………①

又AE=AF=10，所以AB²+BF²=AF²=100………………………………………②

②+①×2得：AB²+BF²+2AB×BF=100+48×2=196

即（AB+BF）²=196

所以AB+BF=14cm

所以△ABF的周长=AB+BF+AF=24cm

（3）存在
自E自作∠AEG，交AC于G，使∠AEG=ACE

因为∠AEG=ACE，∠CAE=∠CAE

所以△AGE△∽△AEC

所以AG/AE=AE/AC，即AE²=AC·AG

在AC上取一点P，使AG=GP，则AG=1/2AP，此时AE²=AC·AG=AC·1/2AP，即2AE²=AC·AP

证明：
设AC与EF相交于点O
∵A、C重合
∴FE⊥AC，AO=OC
∵AD‖BC
∴∠EAO=∠FCO
∴△AOE≌△COF
∴EO=OF
四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）

1 连接EF
矩形纸片ABCD(AD＞AB),将纸片折叠一次，使点A与C重合
AF=CF AE=EC 四角形BFEA全等于四边形DEFC AE=CF
则：AF=FC=CE=AE 四边形AFCE是菱形
2△ABF的面积为24cm² AB*BF=48 AE=10cm
AB的平方+BF的平方＝100
则：（AB+BF）的平方＝1000+2*48＝196
AB+BF＝14