a,b为正数，且a不等于b,比较a^7+b^7与a^4b^3+a^3b^4的大小

a^7+b^7-(a^4b^3+a^3b^4)
=a^7+b^7-a^4b^3-a^3b^4
=a^4(a^3-b^3)+b^4(b^3-a^3)
=(a^4-b^4)(a^3-b^3)
=(a^2+b^2)(a^2-b^2)(a-b)(a^2+ab+b^2)
=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)(a-b)(a^2+ab+b^2)
=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)^2(a^2+ab+b^2)
一项一项看由于ab为正数,平方那个数大于0
故可以看出每一项目都大于0
故a^7+b^7-(a^4b^3+a^3b^4)>0

a^7+b^7>a^4b^3+a^3b^4

当

a^7+b^7-(a^4b^3+a^3b^4)
=a^7-a^4b^3+b^7-a^3b^4
=a^4(a^3-b^3)-b^4(a^3-b^3)
=(a^3-b^3)(a^4-b^4)
=(a-b)(a^2+ab+b^2)(a+b)(a-b)(a^2+b^2)
=(a-b)^2((a^2+ab+b^2)(a+b)(a^2+b^2))
>=0
所以
a^7+b^7>=a^4b^3+a^3b^4

由对称性不妨设a>b
a^7+b^7-a^4b^3-a^3b^4
=a^4(a^3-b^3)-b^4(a^3-b^3)
=(a^4-b^4)(a^3-b^3)
由于a>b
a^4-b^4>0 a^3-b^3>0
因此a^7+b^7>a^4b^3+a^3b^4

如果设b>a，得到同样结论。

令A=a^7+b^7;
B=a^4b^3+a^3b^4;
A-B=a^7+b^7-a^4b^3-a^3b^4
=a^4(a^3-b^3)-b^4(a^3-b^4)
=(a^4-b^4)(a^3-b^3)
=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a-b)(a^2+b^2+ab)