半径为r的圆内接三角形的最大面积是多少

这样思考：固定一边，只有这个边上的高最大，才能面积最大，要高最大，高一定垂直平分这个边，所以一定是等腰三角形。
三个都这样考虑的话，应当是等边三角形。
计算得3√3r^2/4

圆内接三角形的面积S=(1/2)·a·b·sinC
=a·b·c/(4r)
而
a=2r·sinA
b=2r·sinB
c=2r·sinC,
∴S=2r^2·sinA·sinB·sinC
=2r^2·sinA·sinB·sin(π-A-B)
=2r^2·sinA·sinB·sin(A+B)
=2r^2·sinA·sinB·(sinA·cosB + sinB·cosA)
=2r^2·(sin^2 A ·sinB·cosB + sin^2 B ·sinA·cosA)
=r^2·(sin^2 A ·sin2B + sin^2 B ·sin2A)
=(r^2 /4)·[(1-cos2A)·sin2B + (1-cos2B)·sin2A]
=(r^2 /4)·[sin2B + sin2A - sin(2A+2B)]
=(r^2 /4)·(sin2B + sin2A + sin2C)
显然,当 sin2A = sin2B = sin2C 时,S最大;
则此时 A=B=C
=60°;
∴S最大=3√3r^2/4.

3/4根3*R^