考研数学：矩阵B的秩永远大于等于矩阵AB的秩吗？为什么？A和B都非零

告诉你这几个结论吧，老师说这个记住就好：
rank(AB)<=min{rank(A),rank(B)}
即矩阵乘积的秩小于等于两个矩阵中秩小的那个
所以你补充的另一条 “B的秩永远大于等于BA的秩”是对的
它有一个这样的规律：矩阵进行乘积运算以后，秩有变小的趋势

一般遇到的是在A方阵情况下，当A可逆时，rank(AB)=rank(B)
更一般的结论：A列满秩时上式就能成立（可逆是列满秩的一个特例）
当B可逆时，rank(AB)=rank(A)
即当有一个可逆时，会出现等号
这个也同理
带考研的老师说这个不需要会证明，记住结论就够了

这里以B和AB为例。
AB相当于对B的行向量进行线性组合。所以说极大线性无关组的向量个数不可能增加，所以说秩会变小。