若有正整数m，使A的m次方等于零，称A为幂零矩阵，求证A为幂零矩阵的充要条件是A的特征根全为零。

设A的特征根是λi，
先证明充分性：λi=0，则A为幂零矩阵
证明：若特征根λi=0，则有非0向量X使得AX=λX，（A^2）X=λAX=(λ^2)X,以此类推有(A^m)X=(λ^m)X,由于x是非零向量，所以λ^m=0可知A^m，所以有正整数m使A的m次方等于零，即A为幂零矩阵

再证明必要性：A为幂零矩阵，则λi=0
证明：A的特征值为λ，则A^2特征值为（λ^2)
（A^m)的特征值为λ^(m)
设有非零向量X，则有(A^m)X=(λ^m)X,(A^m)=0时(λ^m)必然=0
即 A为幂零矩阵时，则λi=0
证毕。

你就设λ为A的特征值，则有非0向量X使得AX=λX，两边乘以A有
（A^2）X=λAX=(λ^2)X,以此类推有(A^m)X=(λ^m)X,由于A幂0，因此左边等于0，由于X非0，因此λ^m=0,故λ=0，也即A的特征根全为0.

A的特征值为λ，则A^2特征值为λ^(2)
A^(m)的特征值为λ^(m)
当A^m等于0时A的特征值也就都为0了
主要证明特征值全为0时是幂零矩阵这个在
http://220.161.122.70:8000/jpkc/pic/200712716353485949.doc有详细说明，
自己看吧