椭圆和圆的问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/17 05:20:38
已知椭圆x^2/32+y^2/8=1和圆x^2+(y-6)^2=5,在椭圆上求一点M,在圆上求一点N,使|MN|达到最大值，并求出此最大值。

记圆心为O,半径r＝√5
一方面，由于椭圆和圆相离（由方程式容易判断），对于椭圆上给定的一个点P，对圆上任意一点Q，由两边之和大于第三边可知，PQ<=P0+OQ=PO+r为PQ的最大值，当且仅当P,O,Q共线时（Q在PO延长线上）取最大值
于是求MN的最大值，只需求MO的最大值，设M（x,y）(满足x^2=32-4y^2,且y>=-2√),而O（0，6）
故MO^2=x^2+(y-6)^2＝-3y^2-12y+68=-3(y+2)^2+80<=80
所以MO<=4√5,所以MN<=MO+r<=5√5
故MN最大值为5√5，当且仅当M(4,-2),N(-1,8)或者M(-4,-2),N(1,8)时取到最大值。

M(-4,-2),N(5√5/√26，(√5/√26)+6).或M(4,-2),N(-5√5/√26，√5/√26+6).|MN|max=5√5.