和椭圆有关的轨迹问题

直线L:y=x+k, P(x1,y1), Q(x2,y2), M(m,n)
==> y1=x1+k, y2=x2+k, k=n-m ...(1)
y=x+k 代入X^2/4+Y^2/2=1，得：
3x^2 +4kx +(2k^2 -4) =0 ...(2)
|MP|*|MQ|=2
|MP| =根号[(x1-m)^2+(y1-n)^2] =根号[2*(x1-m)^2]
|MQ| =根号[(x2-m)^2+(y2-n)^2] =根号[2*(x2-m)^2]
1 =|(x1-m)(x2-m)| =|x1x2 -(x1+x2)m +m^2| ...(3)
(1)(2)(3) ==>
m^2 +2*n^2 = 1,or 7
因此，动点M的轨迹为椭圆：
x^2 +2*y^2 =1, 及：x^2 +2*y^2 =7
另外一种
设动点M(x，y)，动直线L：y=x+m，并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是方程组的解，消去y，得3x2+4mx+2m2－4=0，其中Δ=16m2－12(2m2－4)>0，∴－<m<，且x1+x2=－，x1x2=，又∵|MP|=|x－x1|，|MQ|=|x－x2|．由|MP||MQ|=2，得|x－x1||x－x2|=1，也即
|x2－(x1+x2)x+x1x2|=1，于是有∵m=y－x，∴|x2+2y2－4|=3．由x2+2y2－4=3，得椭圆夹在直线间两段弧，且不包含端点．由x2+2y2－4=－3，得椭圆x2+2y2=1．
至于那个对，你自己算算

解:设直线方程为 y=x+b
代入 x^2+2y^2=4
得 x1+x2=-4b/3,x1x2=(2b^2-4)/3
设 M:(m,m+b)
因为MP*MQ=2
所以(m-x1)(m-x2)=1(相似三角形性质)
m^2+m*4b/3+(2b^2-4)/3=1
用x代m,y代(m+b)
所以 b=y-x
(1/3)x^2+(2/3)y^2=7/3
x^2+2y^2=7(x,y都在各自定义域中,即保