三角形角ABC的对边分别为abc且2b*cosA=c*cosA+a*cosC

解:
(1)A=60度
由正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC
得：a=(2R)sinA,b=(2R)sinB,c=(2R)sinC
代入原式化简得:
4sinBcosA-2sinCcosA=2sinAcosC
即:
4sinBcosA
=2sinCcosA+2sinAcosC
=2sin(C+A)
=2sin(180度-B)
=2sinB
两边同时除以sinB,得:
cosA=1/2
由于：A为三角形内角
所以A=60度
(2)
因为:cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=1/2
把a=根号7代入，
得:
1/2=(b^2+c^2-7)/(2bc)
=[(b+c)^2-2bc-7]/(2bc)
将b+c=4代入
得:bc=3
则：
三角形面积
=(1/2)bcsinA
=(3根号3)/4

设a/sinA=b/sinB=c/sinC=k
2sinBcosAk=sinCcosAk+sinAcosCk
2sinBcosA=sin(A+C)=sin(pi-B)=sinB
cosA=1/2, A=pi/3

a^2=b^2+c^2-2bccosA=b^2+c^2-bc=(b+c)^2-3bc
7=16-3bc,bc=3
得到b=1,c=3或b=3,c=1
三角形面积为bcsinA/2=3根号3/4

①听说过投影定理没有？ c*cosA+a*cosC=b
很好证的，sinB=sin(A＋C)=sinAcosC＋cosAsinC
两边用正弦定理替换就有b=c*cosA+a*cosC
故2bcosA=b,显然b≠0,所以cosA=1/2
A=π/3
②a²=(b＋c)²-2bc(1＋cosA)
得bc=3
所以S=(1/2)bcsinA=(3√3)/4