求一个椭圆问题的简单解法

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/21 14:07:24
请把您认为的最简单的几种方法说一下，要计算量小的，本人计算能力不大好，请大家找找计算能力小的方法，谢谢
2007年山东的一个高考题
已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在X轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.
若直线l：y=kx+m与椭圆C相较于A,B亮点（A,B不是左右顶点），并且以AB为直径的圆经过椭圆C的又顶点，求证：L过定点，并解出该定点的坐标
我需要的是简单的方法，请大家不要用那些难以计算的BT方法，计算量大的方法我知道好几种，只要简单的，谢谢
一楼二楼的方法都是我觉得最麻烦的方法，并且这两种方法我都会，我想要的是更加简单的方法，这些解法看起来简单，但是计算量的确很大啊，。大家来商讨一下有没有更简单的方法

1.椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。
a+c=3,a-c=1,a=2,c=1
椭圆方程x^2/4+y^2/3=1

2.y=kx+m代入x^2/4+y^2/3=1
x1+x2=-8km/(3+4k^2)
x1x2=(m^2-12)/(3+4k^2)

AB中点M((x1+x2)/2,(kx1+m+kx2+m)/2),即（-4km/(3+4k^2)，3m/(3+4k^2)
2×M到右定点距离=√(1+k^2)*(x1-x2)=√(1+k^2)*√[(x1+x2)^2-4x1x2]

最后有m1=-2k,m2=-2k/7
而当m1=-2k时，直线过(2,0)与已知矛盾。
m2=-2k/7，y=k(x-2/7),过定点（2/7,0)

解：（1）易知，椭圆方程为3x^2+4y^2=12.一方面可知，椭圆的右顶点为P（2，0）。一方面将直线方程代人可得，（3+4k^2)x^2+8kmx+4(m^2-3)=0.(2)设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m).则x1+x2=-8km/(3+4k^2).x1*x2=4(m^2-3)/(3+4k^2).又知PA⊥PB.故[(m+kx1)/(x1-2)]*[(m+kx2)/(x2-2)]=-1.====>4k^2+16km+7m^2=0.===>m=-2k(不合题意，舍）或m=(-2/7)k.===>直线L:y=kx+m=k(x-2/7).显然，直线过定点（2/7,0).

设椭圆参数方程 X=acosα y=bsinα

很好解。。 用三角函数的有界性比较简单。