UC知道线性方程组问题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/18 03:50:39
设A是m*n实矩阵，证明：
r(ATA)=r(A)=r(AAT)
过程：
若能证明齐次线性方程组Ax=0(矩阵0)与ATA=0(矩阵0)同解，则必有r(ATA)=r(A).
如果A&（用它代替那个我打不出的向量未知数符号）=0（矩阵0），则显然有ATA&=AT0(矩阵0）=0（矩阵0）。反之，若ATA&=0(矩阵0），则必有&TATA&=0(这是一个数字0）
我不懂的就是“&TATA&=0(这是一个数字0）”。向量也应该是一个矩阵吧，既然是矩阵相乘，那就应该是结果也应该是个矩阵啊，为什么是另一个数0呢？
恳请指点一下，谢谢！！
很感谢两位的回答！
还有疑问是只有一个元素的矩阵还是矩阵吗？如果是的话，矩阵和数字就应该有本质的区别吧？如果不是，那么在定义矩阵的时候那个n是不是该有限制呢？还是说，在某种条件下，矩阵和数字就相等了呢？
还要补充的是，紧接着我早已给出的分析后，即是证明过程，如下：
令 k=A&=（a1，a2，a3.....an)^T,
则必有 k^T*k=(A&)^T*(A&)=&^T*A^T*A&=0(数字零），即有
k^T*k=(a1，a2，a3.....an）*（a1，a2，a3.....an)^T
=a1^2+a2^2+a3^2......+an^2=0(数字零）
但是，k是实向量，每个分量ai 都是实数，所以必有a1=a2=...=an=0,即k=A&=0(向量0）。这就证明了&必是Ax的解。于是必有r(A^T*A)=r(A)
谢谢！
r(ATA)=r(A)=r(AAT)
过程：
若能证明齐次线性方程组Ax=0(矩阵0)与ATA=0(矩阵0)同解，则必有r(ATA)=r(A).
如果A&（用它代替那个我打不出的向量未知数符号）=0（矩阵0），则显然有ATA&=AT0(矩阵0）=0（矩阵0）。反之，若ATA&=0(矩阵0），则必有&TATA&=0(这是一个数字0）
我不懂的就是“&TATA&=0(这是一个数字0）”。向量也应该是一个矩阵吧，既然是矩阵相乘，那就应该是结果也应该是个矩阵啊，为什么是另一个数0呢？
恳请指点一下，谢谢！！
很感谢两位的回答！
还有疑问是只有一个元素的矩阵还是矩阵吗？如果是的话，矩阵和数字就应该有本质的区别吧？如果不是，那么在定义矩阵的时候那个n是不是该有限制呢？还是说，在某种条件下，矩阵和数字就相等了呢？
还要补充的是，紧接着我早已给出的分析后，即是证明过程，如下：
令 k=A&=（a1，a2，a3.....an)^T,
则必有 k^T*k=(A&)^T*(A&)=&^T*A^T*A&=0(数字零），即有
k^T*k=(a1，a2，a3.....an）*（a1，a2，a3.....an)^T
=a1^2+a2^2+a3^2......+an^2=0(数字零）
但是，k是实向量，每个分量ai 都是实数，所以必有a1=a2=...=an=0,即k=A&=0(向量0）。这就证明了&必是Ax的解。于是必有r(A^T*A)=r(A)
谢谢！
楼主的T应该是指转置吧，为了习惯我还是用上标T表示了。
因此(A&)^T是表示一个向量的转置。就是原来是横向量变成竖写，原来竖写的变成横写。而可以验证
(A&)^T=(&^T)*(A^T)
一个横向量乘一个竖向量按照矩阵乘法就是表示一个数（就是可以看成一个1行n列的矩阵乘一个n行1列的矩阵）。
想来楼主是对 ATA&=0(矩阵0），则必有&TATA&=0(这是一个数字0）有点困惑
其实 ，ATA&=0(这里的ATA是一个n*n的矩阵；&和0都是n*1的列向量），&既然是列向量，那么&T自然就是一个1*n的行向量了，
“&TATA&”相当于一个1*n的行向量&；乘以一个n*n的矩阵ATA；再乘以一个n*1的列向量&；（1*n*n*n*n*1=1*1），结果就是一个1*1的矩阵，就是一个数了
我的理解，希望能给楼主有点帮助