线性代数的问题 急！！！！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/14 17:23:48
向量组的秩

这个向量组组成的矩阵的秩

生成空间的维数——dim(R(A))

到底都是啥关系？？
为什么我们老师要我们证明 rank(A)<=dim(R(A))？？ 就是说矩阵的秩小于等于空间的维数？？？
怎么证？？

rank(A)=dim(R(A))

既然是等式，证明不等式当然是容易的。
取A的列的极大无关组，那么由这些列线性组合形成的空间包含于Ran(A)，于是rank(A)<=dim(Ran(A))。
如果要证明反过来的不等式，那么任取Ran(A)的一组基，必可由A的列线性表示。由于A的列可以由其中的极大无关组线性表示，所以Ran(A)的所有元素都可以由A的列当中的rank(A)个向量表示，就得到dim(Ran(A))<=rank(A)。

其实两者是相等的。
所谓rank(A)就是矩阵列向量的极大无关组中向量的个数。
而由这个矩阵的列向量张成的空间，其实就是由极大无关组张成的空间。因为其他向量可以由极大无关组中的向量表示，它们在张成空间时根本不起作用。