UC知道威尔逊定理
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/15 21:56:34
威尔逊定理 若p为质数，则p可整除(p-1)!+1。
证明如下
对于偶质数2，命题显然成立；
对于奇质数，令a∈A={2,3,4.....p-2},则B={a,2a,3a,.....,(p-1)a}中不会有对于除数p同余的两个数；事实上αa,βa∈B,αa≡βa(mod p),则a|α-β|能被p整除，而a|α-β|∈B，B中的元素不可能被p除尽。于是B中被p除得的余数形成集合{1,2,3,...,p-1}.
假设B中被p除余一的数是γa:
一若γ=1，则γa=a，它被p除余a,所以γ=1不成立；
二若γ=p-1,则γa=(p-1)a,它被p除余a,所以γ=p-1不成立；
三若γ=a，则γa=a*a,由于a*a≡1(mod p)，故应有a*a-1=(a+1)(a-1)≡0(mod p),这只能是a=1或a=p-1,此与a∈A矛盾，故不成立；
有一二三知γ≠a且a∈A。
a不同时，γ也相异；若a1≠a2, a1,a2∈A,且γa1≡γa2≡1(mod p），因，γa1，γa2∈B，而B中的元素关于mod p不同余，可见a1≠a2,则γ1≠γ2。
即每一个a均可找到与其配对的y使其ay≡1(mod p)
∴ 1×2×3×4....(p-2)≡1(mod p)
p-1≡-1(mod p)
∴ (p-1)!≡-1(mod p)
从而p可整除(p-1)!+1
顺便把费马小定理解释一下，最好能直接聊……
为什么偶素数，3和其他奇素数要分开讨论？
为什么A的范围开始要定义成{2，3，4……p-2}？为什么没有1和p-1？
结论4下面的一、二、三不是已经把2<=a<=p-2当做条件了吗？怎么后来又证明a属于A的啊？
结论4下面的第二个，(p-1)a除以p余数为什么应该是p-a？
最后可不可以说（p-2）！-1能被p整除？
威尔逊定理 若p为质数，则p可整除(p-1)!+1。
证明如下
【结论1】 对于偶质数2，命题显然成立；【（2－1）!+1=2】
【结论2】【对于p＝3，命题显然成立；（3－1）！＋1＝3】
对于奇质数p【p>=5】，令A={2,3,4.....p-2},【然后令a为A的任一个元素】，【再记】B={a,2a,3a,.....,(p-1)a}，
【则】
【结论3】B中不会有对于除数p同余的两个数；
【证明如下】若αa,βa∈B,【而αa,βa对于p同余，其中α,β为区间[1,p-1]上的任何2个不同的整数】，【也即，】αa≡βa(mod p),
则a|α-β|能被p整除，
【因1<=|α-β|<=p-2,因此】a|α-β|∈B。
【可是，】B中的元素不可能被p除尽。
【因此，a|α-β|不能被p整除。矛盾。】
【所以，“B中不会有对于除数p同余的两个数”这个结论成立。】
【又因为，B中只有p-1个不同的元素，p只有p-1个不为0的不同的余数。】
于是，
【结论4】B中被p除得的余数形成集合{1,2,3,...,p-1}.
假设B中被p除余一的数是γa:
一若γ=1，则γa=a，它被p除余a,【而1<2<=a<=p-2,】所以γ=1不成立；
二若γ=p-1,则γa=(p-1)a,它被p除余【p-a,而由2<=a<=p-2知，1<2<=p-a<=p-2】,所以γ=p-1不成立；【这里，那个解答有误，(p-1)a除以p余数应该是p-a,不是a哈】
三若γ=a，则γa=a*a,由于a*a≡1(mod p)，故应有a*a-1=(a+1)(a-1)≡0(mod p),
【这样，由于p为质数，因此，a+1,a-1中至少有1个应该能被p整除。而2<=a<=p-2,1<=a-1<=p-3<p.所以，a-1肯定不能被p整除。】
【又，3<=a+1<=p-1,所以，a+1肯定也不能被p整除。】
【因此，γ≠