定理解答

已知:圆内接四边形ABCD,
求证:AC·BD=AB·CD+AD·BC.
证明:如图1,过C作CP交BD于P,使∠1=∠2,又∠3=∠4,∴△ACD∽△BCP.
又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6,∴△ACB∽△DCP.
①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC.
即AC·BD=AB·CD+AD·BC.
这就是著名的托勒密定理,在通用教材中习题的面目出现,不被重视.笔者认为,既然是定理就可作为推理论证的依据.有些问题若根据它来论证,显然格外简洁清新.兹分类说明如下,以供探究.
一,直接应用托勒密定理

例1 如图2,P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B,C重合),求证:PA=PB+PC.
分析:此题证法甚多,一般是截长,补短,构造全等三角形,均为繁冗.
若借助托勒密定理论证,则有PA·BC=PB·AC+PC·AB,
∵AB=BC=AC.
∴PA=PB+PC.
二,完善图形 借助托勒密定理
例2 证明"勾股定理":
在Rt△ABC中,∠B=90°,求证:AC2=AB2+BC2
证明:如图3,作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD,显然ABCD是圆内接四边形.
由托勒密定理,有
AC·BD=AB·CD+AD·BC. ①
又∵ABCD是矩形,
∴AB=CD,AD=BC,AC=BD. ②
把②代人①,得AC2=AB2+BC2.

例3 如图4,在△ABC中,∠A的平分 线交外接∠圆于D,连结BD,求证:AD·BC=BD(AB+AC).
证明:连结CD,依托勒密定理,有AD·BC=AB·CD+AC·BD.
∵∠1=∠2,∴ BD=CD.
故 AD·BC=AB·BD+AC·BD=
BD(AB+AC).
三,利用"无形圆"借助托勒密定理
例4 等腰梯形一条对角线的平方等于一腰的平方加上两底之积.
如图5,ABCD中,AB‖CD,AD=BC,
求证:BD2=BC2+AB·CD.
证明: