证明X的4次方+Y的4次方+2=5Z 无整数解

设x, y为整数，那么如果Z可以为整数，方程有整数解
如果Z 不可能为整数，那么方程无整数解

如果Z可以为整数，那么 X^4 + Y^4 + 2 必须被5整除，
那么，X^4 + Y^4 + 2 的尾数必须为0或者5，
那么，X^4 + Y^4的尾数必须是3 或者 8

考察X ^4，当 x的尾数为0 ~ 9，其尾数分别为：0, 1, 6, 1, 6, 5, 6, 1, 6, 1
所以，X^4的尾数只有：0、1、5、6四钟可能性
同样的，Y^4的尾数也只有0、1、5、6四种可能性
所以，X^4 + Y^4的尾数只可能是：
0 + 0 -> 0
0 + 1 -> 1
0 + 5 -> 5
0 + 6 -> 6
1 + 1 -> 2
1 + 5 -> 6
1 + 6 -> 7
5 + 5 -> 0
5 + 6 -> 1
6 + 6 -> 2

所以，X^4 + Y^4的尾数不可能是3或8，
那么X^4 + Y^4 + 2的尾数不可能是0或5
那么X^4 + Y^4 + 2不可能被5整除
所以当X,Y为整数，Z不可能是整数
所以方程不存在整数解。