数学难题（初一）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/17 00:07:27
若E，F是四边形ABCD的BC边上两个三等分点，G，H是AD边上两个三等分点。求证三角形ABCD的面积等于3个EFHG的面积。（过程）

四边形ABCD中M，N分别是AB，CD的中点，BN与CM交于P点，AN与DM交于Q点。求证三角形BPC的面积加三角形AQD的面积等于MQNP的面积。（过程）

D，E，F分别是三角形ABC三边BC，CA，AB上的点，且AD，BE，CF交于三角形内一点P，把三角形ABC分成六个小三角形，其中三角形APF的面积等于84，三角形CPE的面积等于35，三角形BPD的面积等于40，三角形CPD的面积等于30。求ABC的面积（过程）

1、连结GF、BG、DF、BD.

S△BEG=S△EGF,S△GHF=S△HDF（等底等高的三角形面积相等。）

所以，S四边形EFHG=1/2*S四边形BFDG

S△BGD=2/3*S△BAD,S△BDF=2/3*S△BDC

所以，S四边形BFDG=2/3*S四边形ABCD

所以，S四边形EFHG=1/3*S四边形ABCD

所以，三角形ABCD的面积等于3个EFHG的面积

2、连结AC、BD.

S△BNC=1/2*S△BDC,S△ADM=1/2*S△ABD

所以，S△BNC+S△ADM=S四边形BNDM

同理，S△BMC+S△ADN=S四边形ANCM

所以，S△BNC+S△ADM+S△BMC+S△ADN=S四边形BNDM+S四边形ANCM

所以，S△AQD+S△BPC=S四边形MPNQ

3、过点P作PH垂直AC于H,过点B作BG垂直AC于G.

S△BCE=40+30+35=105=1/2*EC*BG

S△PEC=35=1/2*EC*PH

所以，PH/BG=1/3

所以，S△ABC:S△APC=1:3

设S△FPB=X,S△APE=Y

所以，(84+40+30+35+X+Y):(35+Y)=1:3

所以，2Y-X=84

S△BPD=40,S△PDC=30

所以，BC:DC=4:3

所以，S△ABD:S△ADC=4:3

(84+X+40):(Y+35+30)=4:3

4Y-3X=112

所以，X=56,Y=70

S△ABC=84+56+40+30+35+70=315.