关于抽象函数

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/22 06:28:29
定义在（0，＋∞）上的函数f (x)，对于任意的实数m、n∈（0，＋∞），都有f(mn)＝f(m)＋f(n)成立，且当x>1时，f(x)<0．
（1）计算f(1)的值；
（2）证明f(x)在（0，＋∞）上是减函数；

f(1*1)=f(1)+f(1)
所以f(1)=0

(2)f(mn)-f(n)=f(m)
设有x1和x2符合 0<x1<x2
所以x2/x1>1
所以f(x2)-f(x1)=f((x2/x1)*x1)-f(x1)=f(x2/x1)
又因为x2/x1>0
所以f(x2/x1)<0即f(x2)-f(x1)<0
即f(x）在（0，＋∞）上是减函数；
证毕

1.
当m=n=1 ==> f(1)=f(1)+f(1) ==> f(1)=0
2.

对于任意m>n>0
f(m)-f(n)=f(m/n) 因为m/n>1 所以f(m)-f(n)<0
得证