一道有关分式的竞赛题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/15 18:50:57
求方程“(1+1/n)的(n+1)次方=(1+1/2006)的2006次方”的所有整数解。
n=-2007的确正确，但能否给出解法来证明唯一性？提高悬赏10分！

若n为正数。
则n+1/n的(n+1)次方=2007/2006的2006次方。
则n+1的n+1次方：n的n+1次方=2007的2006次方：2006的2006次方。
显然矛盾！
若n为负数。
则-(（n-1）/n)的（-n+1）次方=2007/2006的2006次方。
则-（n/(n-1))的（n-1)次方=2007/2006的2006次方。
所以-n-1=2006
所以n=-2007

整数解只有一个
n = - 2 0 0 7

怎么说呢？
首先判定n的绝对值在2006附近
在根据(1+n)^n的单调递增性和(1+n)^(n+1)的单调递减性
可以判定在正整数范围内没有整数解（实际连分数解与无理数解都没有）
然后在-2006附近找答案，一般的过程都是分析加猜想，然后自己验证，再说竞赛题目是允许这样的（只要是选择或填空题目）