增函数、减函数问题

解：不妨设x1>x2
G(x)=F(x1)-F(x2)=f(x1)-g(x1)-f(x2)+g(x2)
=f(x1)-f(x2)+[g(x2)-g(x1)]
因为f(x)是增函数，g（x）是减函数，
所以f(x1)-f(x2)>0,g(x2)-g(x1)>0
所以G(x)>0
所以F(x)是增函数

x1>x2的时候

f(x)是增函数，所以f(x1)>f(x2)
g(x)是减函数，所以g(x1)<g(x2)，乘以－1，不等号反向，所以-g(x1)>－g(x2)

两式相加，在x1>x2的时候
F(x1)=f(x1)-g(x1)>f(x2)-g(x2)=F(x2)
正好符合增函数的定义，所以F(x)是增函数

任意x1,x2∈R x1>x2
由题意f(x1)>f(x2) g(x1)<g(x2)
F(x1)-F(x2)
=f(x1)-f(x2)+[g(x2)-g(x1)]
>0
所以F(x)=f(x)-g(x)在R上是增函数