一道高中数学竞赛题

已知f(x)=ax^2+bx+c对于任意的|x|≤1有|f(x)|≤1,求证 g(x)=|(ax^2+bx+c)(cx^2+bx+a)|在[-1,1]上有g(x)≤2
解：
g(x)=|(ax^2+bx+c)(cx^2+bx+a)|=|f(x)|*|h(x)|,而f(x)≤1，要证明g(x)≤2，只要证明 h(x)≤2，而证明h(x)≤2曾经是一道高考题。

[由于符号混淆，为了方便其间，我单独证明h(x)≤2不换符号]
解法I a+b+c=g(1) a-b+c=g(-1) c=g(0)
a=(g(1)+g(-1))/2 -g(0)
b=(g(1)-g(-1))/2
c=g(0)
|cx^2-bx+a|
=|g(1)/2*(1-x)+g(-1)/2*(1+x)+g(0)*(x^2-1)|
≤|g(1)/2|*|1-x|+|g(-1)/2|*|1+x|+|g(0)|*|x^2-1|
≤0.5*|1|*（|1-x|+|1+x|）+ |1|*|x^2-1|
当x∈[-1，1]， |x^2-1|≤1 |1+x|+|1-x|=2
原式≤2*0.5+1=2
[这种方法的特点是万能，这一类题都可以用这个方法解]

解法II
令f(x)=ax·x+bx+c
因为|ax·x+bx+c|≤1 所以 |f(0)|=|c|≤1
|cx·x-bx+a|=|(cx^2-c)+c+bx+a|≤|c|*|x^2-1|+|c+bx+a|
当x∈[-1，1]， |x^2-1|≤1 |c|≤1 |c|*|x^2-1|≤1
然后讨论g(x)=c+bx+a 因为g(x)在x∈[-1，1]上单调
g(x)≤max{c-b+a,c+b+a}
|g(x)|≤max{|c-b+a|,|c+b+a|}
因为|ax·x+bx+c|≤1 所以 |f(1)|=|c+b+a|≤1 因为|f(-1)|=|c-b+a|≤1
所以|g(x)|≤1
|cx·x-bx+a|≤|c|*|x^2-1|+|c+bx+a|≤1+1=