抛物线与圆

(1)要分情况讨论：
设A、B两点的横坐标分别为a,b，则有a+b=2p,ab=q
而(p,q)在抛物线上，∴又有q=p2-1
由上面三式得a=p+1,b=p-1
圆M在x轴上截得的弦长是L=|a|+|b|=|p+1|+|p-1|
①p<-1时,L=-(p+1)-(p-1)=-2p，会变
②-1≤p≤1时,L=(p+1)-(p-1)=2，不会变
③p>1时,L=(p+1)+(p-1)=2p+2，会变
∴圆M在x轴上截得的弦长，只有当-1≤p≤1时才不变，p为其余情况都会变

（2）抛物线顶点为C(0,-1)
△ABC为等腰三角形也有三种情况：（我给你算出p,你自己把p代入抛物线方程q=p2-1算出q）
①AB=AC时，根号（L的平方）=根号[(p+1)平方+1]
(i)p<-1时,L=-2p,∴根号[(-2p)的平方]=根号[(p+1)平方+1]
即4*p平方=p平方+2p+2,解得p=1/3±(根号7)/3
但∵p<-1,∴p=1/3-(根号7)/3
(ii)-1≤p≤1时,L=2,∴根号（2的平方）=根号[(p+1)平方+1]
即4=p平方+2p+2，解得p=-1±(根号3)
但∵-1≤p≤1，∴p=-1+(根号3)
(iii)p>1时,L=2p+2,∴根号[(2p+2)的平方]=根号[(p+1)平方+1]
即4*p平方+8p+4=p平方+2p+2,解得p=-1±(根号3)/3
但∵p>1，∴p无解

②AB=BC时，根号（L的平方）=根号[(p-1)平方+1]
(i)p<-1时,L=-2p,∴根号[(-2p)的平方]=根号[(p-1)平方+1]
即4*p平方=p平方-2p+2,解得p=-1/3±(根号7)/3
但∵p<-1,∴p=-1/3-(根号7)/3
(ii)-1≤p≤1时,L=2,∴根号（2的平方）=根号[(p-1)平方+1]
即4=p平方-2p+2，解得p=1±(根号3)
但∵-1≤p≤1，∴p=-1-(根号3)<