高一难题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/22 01:06:53
一道数学难题：a,b属于R+ a+b=1 求证：(a+1/a)(b+1/b)≤25/4
方法越多越好~~谢谢啦~~

应该是大于等于号。
利用sin cos 的平方和等于 1 。设 a=sin^2(x) b = cos^2(x)
经三角函数运算，可得：
(1/4)sin^2(2x) + 8/(sin^2(2x)) - 2
其中，sin^2(2x) 可以取 0~1 之中的任何值，设为 t , 于是问题变为：
0≤t≤1 时， t/4 + 8/t - 2 的最小值。
当 t=1 时，这个函数有最小值 25/4 。

b=1-a
f(a)=(a+1/a)(b+1/b)=(a+1/a)((1-a)+1/(1-a))
判断这个函数的最小值即可，

第一种:
b=1-a
f(a)=(a+1/a)(b+1/b)=(a+1/a)((1-a)+1/(1-a))
判断这个函数的最小值即可，
第二种:
利用sin cos 的平方和等于 1 。设 a=sin^2(x) b = cos^2(x)
经三角函数运算，可得：
(1/4)sin^2(2x) + 8/(sin^2(2x)) - 2
其中，sin^2(2x) 可以取 0~1 之中的任何值，设为 t , 于是问题变为：
0≤t≤1 时， t/4 + 8/t - 2 的最小值。
当 t=1 时，这个函数有最小值 25/4 。