求证：重要不等式，即算术平均数大于几何平均数

1、实数的运算性质与大小顺序之间的关系

不等式的等价性：两个实数、b比较大小，有大于、等于、小于之别，且有，

（1）＞b －b＞0；

（2）=b－b=0；

（3）＜b －b＜0.

等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式以及解不等式的主要依据.

本周学习的另一重点是用作差法比较两实数的大小.

用作差法比较两实数的大小，其步骤为①作差；②变形；③判断差的正负．在解题中应加强化归意识，把比较大小与实数减法运算联系起来，利用实数的运算性质解决比较大小的问题.

例1、 已知，b∈R+ ,求证：n＋bn≥n-1b＋bn-1．（nN）

2、不等式的性质、推论及证明

不等式的五个性质和三个推论是不等式这一章的理论依据。

（1）＞bb＜；（反身性）

（2）＞b，b＞c＞c；（传递性）

（3）＞b＋c＞b＋c；（两边同加数号不变）；推论：移项法则.

（4）；（两边同乘正数号不变）；

（5）；（两边同乘负数号改变）；推论：去系数法则.

（6）；（同向相加）

（7）；（异向相减）

（8）；（同向相乘）

（9）；（异向相除）

（10）＞b（倒数关系）

（11）＞b＞0n＞b n（nN+）；（不等式的幂）

（12）＞b＞0（nN+）；（不等式的方根）

3、算术平均数与几何平均数

若a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）通常称为重要不等式．两正数a，b的算术平均数，几何平均数，平方平均数，调和平均数的大小关系为H≤G≤A≤Q