柯西不等式是怎么推出来的？

柯西（Cauchy）不等式

等号当且仅当 或 时成立（k为常数， ）现将它的证明介绍如下：
证明1：构造二次函数
=

恒成立

即
当且仅当 即 时等号成立
证明（2）数学归纳法
（1）当 时 左式= 右式=
显然 左式=右式
当 时， 右式 右式
仅当即 即 时等号成立
故 时 不等式成立
（2）假设 时，不等式成立
即
当 ，k为常数， 或 时等号成立
设

则

当 ，k为常数， 或 时等号成立
即 时不等式成立
综合（1）（2）可知不等式成立
柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题：
1） 证明相关命题
例1． 用柯西不等式推导点到直线的距离公式 。
已知点 及直线
设点p是直线 上的任意一点， 则
（1）
（2）
点 两点间的距离 就是点 到直线 的距离，求（2）式有最小值，有

由（1）（2）得：
即
（3）
当且仅当
（3）式取等号 即点到直线的距离公式
即

2） 证明不等式
例2 已知正数 满足 证明
证明：利用柯西不等式

又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上 得：

故
3） 解三角形的相关问题
例3 设 是 内的一点， 是 到三边 的距离， 是 外接圆的半径，证明
证明：由柯西不等式得，

记