单摆周期公式是怎么推出来的

设夹角a 线长l 拉力T 角速度w
T-mgCOSa=w^2*l (1)
mgSINa=-mdv/dt (2)
v=da/dt*l(3)
有2 3 式得
gSINa/l=-d^2a/dt^2
a很小时sin(a)=a
g*a/l+d^2a/dt^2=0 这是最简单的常微分方程式
特征根是 A=(g/l) i w^2=g/l 所以解a=a0cos(wt+b)
周期T=2TT/w=2TT*(l/g)^1/2

严密的：gsin(a)/l=-d^2a/dt^2 开始不做近似
两边乘以da/dt 再积分（和证明能量守恒一样）
(da/dt)^2=2g/l *COSa+C 当a=0时如果da/dt=w0 那么C=w0^2-2g/l (da/dt)^2=4g/l *(lw0^2/4g-SIN^2a/2)>=0
设lw0^2/4g=k^2 带入 dt=+-1/2*(l/g)^1/2*da/(k^2-SIN^2a/2)^1/2
设SINa/2=ku 在带入 dt=+-(l/g)^1/2*du/((1-u^2)(1-k^2u^2))^1/2
然后利用椭圆积分 得到
k<1 T=2TT(l/g)^1/2*(1+1/16*l/g*w0^2)
k>1 T=TT/k*(l/g)^1/2*无穷级数(（2n-1)!!/(2n)!!(1/k)^n)^2
TT是派

描述简谐运动的公式 位移x=Asin(ωt+φ)
对其求导，位移求导就是速度v=x`=Aωcos(ωt+φ)
再求导，就是加速度a=v`=Aω^2sin(ωt+φ)
简谐运动回复力F=ma F=-kx k=mω^2 ω=2π/T
周期T=2π√m/k （根号我打不上，拿个对号凑合着用吧）
k=kg/l ∴单摆周期公式T=2ω√l/g