已知四边形ABCD中,AB=DC,AC=BD,AD≠BC,则四边形ABCD是等腰梯形吗?为什么?

分析:要证明四边形ABCD是等腰梯形,因为AB=CD,所以只要证明四边形ABCD是梯形即可;又因为AD≠BC,故只需要证AD‖BC即可.

证明:方法一:如图(1)

过A、D做BC的垂线AF,DH,垂足分别为F、H.

∵AB=DC,AC=DB,BC=CB, ∴△ABC≌△DCB. ∵AF⊥BC,DH⊥BC, ∴ AF=DH.

∵AF‖DH, ∴四边形AFHD是矩形,所以AD‖BC.

∵AB=CD, ∴四边形ABCD是等腰梯形.

方法二:如图(2).过点A做AE‖DC交BC于点E. ∴∠DCB=∠AEB.

∵AB=DC,AC=DB,BC=CB,

∴△ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB, ∴∠ABC=∠AEB, ∴AB=AE.

∵AB=DC,∴AE=DC. ∴四边形ABCD是平行四边形, ∴AD‖BC.

∵AD≠BC,AB=CD,∴四边形ABCD是等腰梯形.

方法三:如图(3)分别延长BA、CD相交于点G.

∵AB=DC,AC=DB,AD=DA,

∴△ABD≌△DCA. ∴∠BAD=∠CDA,∠GAD=∠GDA, ∴AG=DG.AG+AB=GD+CD.BG=CG.

∴∠GAD=∠GBC.AD‖BC. ∴四边形ABCD是等腰梯形.

方法四:如图(4)过点D做DM‖AC,交BC的延长线于点M. ∴∠ACB=∠M,

∵AB=DC,AC=DB,BC=CB, ∴△ABC≌△DCB.

∴∠ACB=∠DBC, ∴∠DBC=∠M, ∴DB=DM

∵AC=DB,∴AC=DM. ∴四边形ACMD是平行四边形, ∴AD‖BC.

∵AD≠BC,AB=CD,∴四边形ABCD是等腰梯形

三角形ABC全等于三角形DCB
角CBA等于角DCB