三角形ABC中,角BAC是直角,AB=AC, 角ACD=角BCD, BD垂直CD交AB于E, 求证: BD=1/2 CE

证明：过E点作BC的垂线EF，因∠CAE=∠CFE，∠ACE=∠FCE，CE=CE，所以△ACE≌△FCE，则AE=FE，AC=FC，∠ABC=45°，则△BFE是一个等腰直角三角形，EF=BF。
由勾股定理，得
BC^2=AC^2+AB^2=2AC^2
BF=BC-FC=(√2)AC-AC=(√2-1)AC=AE，
BE=AB-AE=AC-AE=AC-(√2-1)AC=(2-√2)AC，
CE^2=AC^2+AE^2=AC^2+(√2-1)^2*AC^2=2(2-√2)AC^2=(2-√2)AC*2AC=2AC*BE， 即AC*BE=CE^2/2，
可得：CE/2=AC*BE/CE。又因∠A=∠D,∠AEC=∠DEB，故△AEC∽△DEB，得
BD:AC=BE:CE，
即BD=AC*BE÷CE=CE^2/2÷CE=CE/2。